viernes, 25 de mayo de 2012

NUMERO FACTORIAL


NUMERO FACTORIAL 

Para todo entero positivo n, el FACTORIAL de n o n FACTORIAL se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los (NÚMEROS NATURALES) hasta n.
 n! = 1*2*3*4*...*( n-1 ) * n
La multiplicación anterior se puede simbolizar también como
n! = \prod_{k=1}^n k

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en COMBINATORIA y ANÁLISIS MATEMÁTICO De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos INDIOS.La notación actual n! fue usada por primera vez por CHRISTIAN  KRAMP en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del ANÁLISIS MATEMÁTICO.

                                                           CERO FACTORIAL 
La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.
Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero.De acuerdo con la convención matemática de PRODUCTO VACIÓ el valor de 0! debe definirse como 0!=1.
Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:
  • Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
(n-1)! = \frac{n!}{n},



válida para todo número mayor o igual que 1.
Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
4!=\frac{5!}{5} = \frac{120}{5}=24,
y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
3!=\frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6.

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que
2!=\frac{3!}{3}=\frac{6}{3}=2,\qquad 1!=\frac{2!}{2} =\frac{2}{2}=1.
Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0! corresponde a
0!=\frac{1!}{1} = \frac{1}{1} = 1


Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de PRODUCTO VACIÓ usada en muchas otras ramas de las matemáticas.
APLICACIONES
Los factoriales se usan mucho en la rama de la MATEMÁTICAS  llamada COMBINATORIA , a través del BINOMIO DE NEWTON que da los COEFICIENTES de la forma desarrollada de (a + b)n: de la forma desarrollada de (a + b)n:
(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 + \cdots + {n\choose n-1} ab^{n-1} + {n\choose n}b^n




donde {n \choose k} representa COEFICIENTES BINOMIAL un: {n\choose k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las PROBABILIDAD Intervienen también en el ámbito del ANÁLISIS en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (FORMULA DE TAYLO). Se generalizan a los REALES con la FUNCIÓN GAMMA, de gran importancia en la  TEORÍA DE NÚMEROS.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la FORMULA DE STIRLING: 
n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la FUNCIÓN GAMMA, de manera que 
n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)

PRODUCTOS SIMILARES
PRIMORIAL 
El PRIMORIAL (sucesión A002110 en OEIS)  en  se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los NUMEROS PRIMOS menores o iguales que n.

DOBLE FACTORIAL 



Se define el doble factorial de n como:
n!! = \begin{cases} 1 & \mbox{si } n=0\mbox{ o }n=-1 \\ 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{par} \\ 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{impar} \\\end{cases}


Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para n = 0, 1, 2, \dots empieza así:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
n!!={(-1)^{-(n+1)/2}\over -(n+2)!!}.

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para n= -1, -3, -5, -7, \dots\,:
1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots
El doble factorial de un número negativo PAR no está definido.1233
Algunas identidades de los dobles factoriales:
  1. n!=n!!(n-1)!! \,
  2. (2n)!!=2^nn! \,
  3. (2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
  4. (2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
  5. \Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
  6. \Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}




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martes, 17 de abril de 2012

medidas de dispersión


Medidas de dispersión
  • desviación: Es un dato que representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, ya que por ejemplo dos conjuntos de datos pueden presentar la misma media aritmética, pero poseer distinta variabilidad, por eso este estadígrafo nos permite saber acerca de la variabilidad o dispersión de los datos. Matemáticamente se define como "la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones medias de cada valor de la variable con respecto de la media aritmética"
  • desviación media:  Corresponde a la diferencia numérica entre una medida individual o número y la media aritmética de una serie completa de tales medidas o números. Por ejemplo, si la media de alturas de todos los alumnos de un curso es 1,51 m y uno de ellos mide 1,63m, la desviación media de su altura con respecto a la media es de +0.12 metros.
  • varianza: la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
  • desviación típico:es la raíz cuadrada de la varianza:
Estadística
La razón de ser de este parámetro es conseguir que la medida de dispersión se exprese en las mismas unidades que los datos a los que se refiere. Por ejemplo, en una distribución de estaturas en la que los datos están dados en centímetros (cm), la media viene dada en centímetros, pero la varianza en centímetros cuadrados (cm2). Para evitar este inconveniente se calcula su raíz cuadrada, obteniéndose así la desviación típica en centímetros.
El par de parámetros formado por la media y la desviación típica (÷, ó) aporta una información suficientemente buena sobre la forma de la distribución.
El coeficiente de variación, C.V., es el cociente entre la desviación típica y la media de la distribución:
Estadística.
  • percentiles: Una medida estadística que utilizo constantemente a la hora de analizar los datos es el de percentil. El percentil es una medida de posición no central que nos dice cómo está posicionado un valor respecto al total de una muestra. También se usan los cuartiles, deciles o quintiles pero no son más que casos particulares.
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