mundo de la estadistica: mayo 2012

NUMERO FACTORIAL

Para todo entero positivo n, el FACTORIAL de n o n FACTORIAL se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los (NÚMEROS NATURALES) hasta n.

n! = 1*2*3*4*...*( n-1 ) * n

La multiplicación anterior se puede simbolizar también como

$n! = \prod_{k=1}^n k$

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en COMBINATORIA y ANÁLISIS MATEMÁTICO De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos INDIOS.La notación actual n! fue usada por primera vez por CHRISTIAN KRAMP en 1803.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del ANÁLISIS MATEMÁTICO.

CERO FACTORIAL

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero.De acuerdo con la convención matemática de PRODUCTO VACIÓ el valor de 0! debe definirse como 0!=1.

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

$(n-1)! = \frac{n!}{n}$ ,

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

4!= $\frac{5!}{5} = \frac{120}{5}=24$ ,

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

3!= $\frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6$ .

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que

$2!=\frac{3!}{3}=\frac{6}{3}=2,\qquad 1!=\frac{2!}{2} =\frac{2}{2}=1.$

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0! corresponde a

$0!=\frac{1!}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de PRODUCTO VACIÓ usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

APLICACIONES

Los factoriales se usan mucho en la rama de la MATEMÁTICAS llamada COMBINATORIA , a través del BINOMIO DE NEWTON que da los COEFICIENTES de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ: de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

$(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 + \cdots + {n\choose n-1} ab^{n-1} + {n\choose n}b^n$

donde ${n \choose k}$ representa COEFICIENTES BINOMIAL un: ${n\choose k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las PROBABILIDAD Intervienen también en el ámbito del ANÁLISIS en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (FORMULA DE TAYLO). Se generalizan a los REALES con la FUNCIÓN GAMMA, de gran importancia en la TEORÍA DE NÚMEROS.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la FORMULA DE STIRLING:

$n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la FUNCIÓN GAMMA, de manera que

$n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)$

PRODUCTOS SIMILARES

PRIMORIAL

El PRIMORIAL (sucesión A002110 en OEIS) en se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los NUMEROS PRIMOS menores o iguales que n.

DOBLE FACTORIAL

Se define el doble factorial de n como:

$n!! = \begin{cases} 1 & \mbox{si } n=0\mbox{ o }n=-1 \\ 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{par} \\ 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{impar} \\\end{cases}$

Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para $n = 0, 1, 2, \dots$ empieza así: